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原文链接：https://www.qbitai.com/2025/10/341103.html
原文作者：量子位（西风）
GPT-5 Pro惊现“神操作”：仅凭图片就解开了尘封多年的数学难题
人类遗忘的难题解法，竟然被GPT-5 Pro重新找出来了！
这件令人称奇的事情，聚焦于著名的埃尔德什问题#339。这是数学家保罗・埃尔德什（Paul Erdős）提出的近千道问题之一，收录于erdosproblems.com网站。在此之前，该问题一直被标记为“未解决”，吸引着不少数学研究者的目光。
然而，最近有人通过GPT-5 Pro检索后赫然发现，该问题实际上早在2003年就已经被解决了。
更令人震惊的是，GPT-5 Pro仅凭埃尔德什问题#339的图片描述，就精准定位到了关键的学术文献。
OpenAI研究员Sebastien Bubeck将这一发现分享到社交媒体后，立刻引发了网络热议。
顺带一提，著名数学家陶哲轩（Terence Tao）的知名成果之一，就是利用“遍历理论（ergodic theory）”工具，攻克了困扰数学界几十年的“埃尔德什差异问题”。
数学难题详情：加法基方向的经典挑战
具体来说，埃尔德什问题#339是数论中加法基领域的一个经典问题，其表述如下：
设A⊆N是一个r阶基（即每个足够大的整数都能表示为A中r个元素的和）。那么，能表示为A中恰好r个不同元素之和的整数集合，是否一定具有正的下密度？
此外，埃尔德什和格雷厄姆还提出了一个相关问题：如果能表示为A中r个元素之和的整数集合具有正的上密度，那么能表示为A中恰好r个不同元素之和的整数集合，是否也一定具有正的上密度？
在GPT-5 Pro揭示真相之前，网友们围绕该问题展开了热烈讨论。
网友Adenwalla从著名的华林问题（Waring’s Problem）入手，指出几乎所有整数都可以表示为最多15个四次幂之和（$G(4)=16$ 但 $G_1(4)=15$），并据此质疑埃尔德什问题#339中关于下密度的结论是否成立。
很快，Woett、BorisAlexeev等人反驳道，华林问题允许元素重复，而埃尔德什问题#339要求“元素互不相同”，因此华林问题的例子不能作为反例。
讨论进一步深入。Zach Hunter尝试探索不同规模下加法基的密度稳定性，而Woett则构造了具体的集合作为潜在的反例。双方围绕“互不相同元素（distinct）”、“下密度（lower density）”以及“有界倍增（bounded doubling）”等概念进行了细致的推敲。
最终，他们发现虽然构造出的和集可能存在稀疏甚至指数级的间隙，但“能表示为恰好r个不同元素之和的整数集合”的下密度并未真正趋近于零，意味着这些构造并未成功推翻原命题。
正当网友们争论不休、对问题成立性存疑时，msawhney提醒了大家：这个问题其实早在2003年就已被解决。
核心依据是Hegyvari、Hennecart、Plagne在《J. reine angew. Math.》（即《Crelle》）第560卷中发表的论文《A proof of two Erdos conjectures on restricted addition and further results》。
论文中的定理4直接给出了该问题的解答。
而将这一答案找出来的“侦探”，正是GPT-5 Pro，它仅凭问题截图，就精准定位到了这篇文献。
背景速览：传奇数学家保罗·埃尔德什
保罗·埃尔德什（Paul Erdős）是20世纪最杰出、最多产的数学家之一，尤其以其在数论、组合数学、图论和概率论方面的开创性贡献而闻名。
△图源：维基百科
他一生留下了近1500篇论文，并与超过500位合作者共同研究，这种广泛的合作精神催生了数学界的“埃尔德什数（Erdős number）”概念，用以衡量一位数学家与埃尔德什的学术亲近程度。
埃尔德什于1913年出生于匈牙利布达佩斯。他天赋异禀，4岁能心算多位数乘法；10岁时已自学完中学数学并开始钻研数论。
1934年，21岁的埃尔德什获得博士学位后，开始了他“漂泊”的学术生涯——他没有固定职位，靠演讲费、奖金和朋友资助生活，常年只有一个行李箱，在世界各地的大学和数学家家中辗转，平均每几周就换一个地方，与同行交流合作。
埃尔德什的研究方式以“问题驱动”著称。他不专注于构建宏大的理论体系，而是热衷于提出和解决有趣的问题。他提出的数百个猜想至今仍是数学前沿的热点。
数论是他投入最深、成果最丰的领域，对20世纪数论发展影响深远，尤其在素数分布和加性数论方面。例如，他与挪威数学家Atle Selberg共同用初等方法证明了素数定理，成果震惊了数学界。
埃尔德什也是拉姆齐数研究的奠基人之一，他将概率论引入组合数论，给出了拉姆齐数的下界估计。
他提出的著名“埃尔德什差异问题”（关于无限序列的部分和的差异），跨越数论、组合数学与调和分析，成为20世纪最著名的未解决猜想之一，直到2015年才被陶哲轩等人部分突破。
即使在生命的最后几年，埃尔德什依然坚持研究。1996年，他在波兰华沙参加学术会议时因心脏病突发逝世，享年83岁。
2024年，英国数学家Thomas Bloom设立了一个专门研究埃尔德什问题的网站。
“One More Thing”：GPT-5在学术文献审查中的强大能力
加州大学欧文分校数学教授Paata Ivanisvili也发推文指出，GPT-5 Pro在识别已发表论文中存在的严重缺陷方面表现出色。
五年前，我花了数天时间研究一篇论文，才发现了一个作者后来确认的漏洞。而GPT-5 Pro仅用18分钟就找到了同样的漏洞，还额外发现了几个小问题。类似的情况我已经目睹过很多次了。
这条推文还得到了OpenAI总裁Greg Brockman的转发。
网友们认为这是一个极具潜力的应用场景：
使用GPT-5 Pro来验证科学文献，可以极大地加速研究人员核实学术论断和发现逻辑矛盾的过程。
也有网友分享了提示词技巧，提升研读论文的效率：
在提示词中加入“请深度阅读——不要跳读，不要扫描——每次处理1000行”（please deep read – no grep, no scan – 1,000 lines at a time），这被认为是研读科学论文的终极技巧之一。
另一个建议是进行循环性核查（do a circularity audit）。
埃尔德什问题官网：https://www.erdosproblems.com/faq
参考链接：
[1]https://x.com/SebastienBubeck/status/1977181716457701775
[2]https://x.com/gdb/status/1977153596811804890
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